Rod-arithmetic
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从汉字里的“算”和“筭”看中国传统数学
一. 汉字对古代计算方式的表示 在《说文解字》里收有两个读音一样，而且在现代汉字里意义也归并到一起的字，“算”与“筭”，但是，在《说文》成书的汉代和其后的很长历史时间里，这两个字的意义并不完全一样。这两个字是解读古代中国数学状态的钥匙。 “筭”，许慎释为“长六寸，计历数者。从竹从弄，言常弄乃不误也。”“算”，许慎释：“数也，从竹从具，读若筭。”从许慎对这两个字的训释，笔者以为，可以作如下的解读和探溯。 1. 筭，是一种计算用的工具，长六寸，是用来计数的。据此可以说，筭是个表示器物的名词字。探溯许慎用来训释“筭”字的那些字的意义，更有助于对“筭”字的了解。“數”，《说文》释“计也，从攵婁声”。“計，會也筭也，从言从十”；“歷，过也，从止厤声”；“弄，玩也，从廾持玉。”在“常弄乃不误也”的训释里，弄有动作的意味，故筭字也兼有动词的性质。同样，“數”字在《说文》里也是兼有动词（“计也”）和名词（“四，阴数也”）两种词性。 2. 算所从的具，在《说文》里释为“共置也，从廾，从貝省。古以贝为货。”“置，赦也从网从直。”“赦，置也，从攵赤声。”从这一组《说文》“原汁原味”的训释来看，算字具有摆放的意思，表示了摆放算具来作运算，是个动词字。 3. 收集在《说文》里的算和筭两个字，许慎都不是作形声字对待，而是当作会意字。至于形声字，许公是明确指出其形旁和读音，如：“策，马箠也，从竹朿声”；“箴，缀衣箴也，从竹咸声”；“管，……从玉官声”。那么，既不是形声字而又带着竹字头，这带竹字头的会意字则说明“算”和“筭”在古代中国与竹的关系非常密切。本文下面将会分析到，我们的祖先用竹制的算具“筹”来作计数运算，并把运算的题目和运算结果，用传统的竹杆毛笔记录在竹制的简策上。竹，由其所制成的算具、写字工具和记录载体，综合性地、间接地，从操作方式方面影响了古代中国的数学。 4. 由于时间的推移和社会进步，古代的筹筭方式被后世的更为先进的计算方式取代。在筭筹退出历史舞台之后，“筭”字的社会使用也逐渐消失，于是在现代汉语里，留下了表示动作的“算”字。 二. 古时纸前时代书写记录多用竹简，计算用筭筹 在没有发明纸，以及纸具备书写的功能之前，我国的文字记录是采用竹简、木牍和绢帛，使用得最多的是竹简。在竹简上书写文字，也在竹简上书写与计算有关的数字和计算结果。 从《中国大百科全书•数学卷》的附图和研究甲骨文的文献里，可以见到中国式数码一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、零这十一个基本数的古文字字形，这些古字形的起源与用筭筹来表示数字的方式，以及筭筹对数量的组合形样密切相关。古代中国是以竹简作为书写的主流载体，这种薄而窄的简条只能写一行字，从上而下地书写。在今天的汉语里还有“简单”、“简直”这些与竹简有关的词汇。但是在这种文字记录的主流状况下，数字的运算过程不好在竹简上表达。我们的祖先由于客观物质条件的影响，没有发展出基于简册书写的笔算，而是发明了筹算——用棍状的筭筹在筭板上布阵列算，通过运算口诀的指导，获得所求的计算结果，再把结果记录在竹简载体上。我国现存最早的算术书籍，是1983-12～1984-01在湖北江陵张家山从西汉吕后时期墓葬出土的竹简《算数书》，《中国大百科全书•数学卷》[1]彩图P47就有这部竹简《算数书》的照片。此《算数书》大约有二百支竹简，出土时一百八十余支较为完整，十余支残破，在一支竹简的背面有“算数书”三字，当是该简册的篇名[2]。 古代中国纸前时代的竹简书册形制，影响了古代中国对于数和算术问题的表述方式，形成了纳入中国文字体系的数码，形成了采用纯粹文字来叙述和表达数学问题的“中国式文词型代数学”。而且，在竹简不便发展笔算的客观条件下所发展起来的筹算里，不同算题中特定的计算对象在筹算板上，可以具有相同的筹码摆放位置，于是筹算板上的位置实际成为了某种代数量，称之为“元“；进一步发展成为用“天、地、人、物”来表示“元”的名称。这种代数学被英国著名的学者李约瑟称之为“位置的代数学”。 所谓“文词型代数学”，在李约瑟《中国科学技术史•数学卷》[3]的第一版中译本里，译为“修辞的代数学”。笔者理解李约瑟提出的这个概念，就是说，整个数学的学术内容，完全是用文字叙述的方式来表达，而没有采用任何汉字以外的数学符号。这具体表现在下列几个方面。其一，古代数学著作里的问题是用纯粹文字叙述的方式给出；其二，传统数学著作里解答某一类问题的通用公式，也是用纯粹的文字叙述方式给出；如，在《九章算术》里关于圆面积计算的公式表述为“术曰：半周半径相乘得积步。”（《九章算术•圆田》题三二）；另一圆面积计算公式表述为“术曰：周径相乘，四而一。”其三，数学问题的答案和解答过程，也全部是用纯粹的文字叙述方式来表示。上述关于圆田•题三二计算公式的双行注解是：“按，半周为纵，半径为广，纵广相乘得积步。……” 我们的祖先在他们的客观物质条件下，充分利用客观条件，充分发挥了自己的聪明才智，创造了自己独特的数学体系，并在相当长的历史时期里处于先进的地位。 但是，我们的文字符号表达观念和思维方式使我们把数码也被创制为普通文字的类型；我们的竹简记文体系也不便我们发展数学的笔算方法，不便我们发展用笔表示的数学（和其它学科）的专用书面符号，没有发展出中国的符号代数学。在近代，传统中国数学的发展落后了，数学的落后，影响了近代中国科技的发展。
算筹：一场别开生面的数学竞赛
■武林科话 如果问“金庸小说中谁是数学达人”？想必很多人会不假思索地回答“神算子瑛姑”，因为其人扎实的数学功底，所以获得了和梁山好汉蒋敬一模一样的外号，令人印象深刻。 中国数学（或者说“算术”，后者更严谨）历史非常悠久，远远超出一般人的想象。早在原始社会末期，随着私有制和物物交换的产生，原始算术开始萌芽，距今6000多年的仰韶文化、半坡文化遗址，已经出现了数字符号和几何图形。 夏商时期，中国出现了世界最早的十进制计数法，这是一个了不起的发明，一直影响至今。十进制或许是因为双手共十指的原因，但当统计数字超过十，双手不够用了，古人就有必要借助于其他计数工具。故而，从西周开始，算筹这种计数工具就出现了，在《射雕英雄传》小说中，这也是瑛姑的武器——用来点穴。 算筹又称为算、筹、策、算子等，是一种由竹、木、骨、铁等材质制造的扁平薄片，在算盘发明之前，它统治了近两千年的计算岁月。小说中，郭靖和黄蓉第一次看到瑛姑时，她正趴在地上摆算筹，计算55225的平方根。 小说中写道“那些算子排成商、实、法、借算四行”，这些专有名词，在北宋贾宪的增乘开方法（求高次幂的正根法）和南宋秦九韶的正负开方术（高效次方程数值求解法）里，都曾出现。 黄蓉轻易口算出55225的平方根是235、34012224的立方根是324，数学水平可比瑛姑高多了，估计比同时代的秦九韶还要强上几分。瑛姑不服气，用“天元之术”向黄蓉发起挑战。 天元术是宋元时期发展起来的设未知数列方程的方法，南宋李冶在《敬斋古今黈》中记载了天元术早期发展的一些情况：早先东平有一关于建立方程的方法算经，以仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼等19个汉字表示未知数的各次幂，正幂在上，负幂在下，以“人”作为常数项。《射雕英雄传》忠实地还原了这个典故。 瑛姑出的题目是“四元术”，出现了天元、地元、人元、物元等专有名词。其实这来自于元代数学家朱世杰的《四元玉鉴》，所谓“四元术”就是今日的多元高次方程列式与消元解法，虽然也很奇妙，但离9次方的“仙”、-9次方的“鬼”还差得很远，所以根本不会给黄蓉造成什么麻烦。 恼羞成怒的瑛姑竟然用九宫图来刁难黄蓉——九宫图是中国最早的纵横图，亦称幻方，据说是从黄帝和大禹时期的河图洛书里发明的。西汉末期的《周易·乾凿度》记载说“太乙取其数以行九宫，四正四维皆合于十五”。换句话说，1到9这九个数字放在九宫格里，不论横竖斜排列，数字相加都是15。 这道题目非常简单，我在小学三年级的暑假作业里就遇到过，也经常在各种小学奥数班习题里见到。但是，瑛姑竟然不知道！ 黄蓉背出了九宫格的口诀（也就是答案），“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”。这个口诀的出处是北朝甄鸾的《数术记遗注》，该书描述说“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”，一口气解开了这个三阶纵横图的小秘密。 瑛姑面如死灰，黄蓉适当补刀，又列出了四四图、五五图、百子图，都是纵横图。黄蓉口述了四四图的口诀，“以十六字依次作四行排列，先以外四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十。这般横直上下斜角相加，皆是三十四”，这段文字一字不差地记载在南宋杨辉的《续古摘奇算法》之“易换术”中，是解开四阶纵横图的不二法门。 虽然纵横图早在《周易》时代就已问世，但杨辉是世界上最早对幻方进行系统研究的数学家。他把纵横图从单一的方形扩散到圆形、梅花形、雪花形、九宫八卦形乃至于连环形，杨辉的奇异形纵横图因其多样性和对称性，创造了纵横图研究的一个巅峰，《中国科学技术史》的作者李约瑟对此深表钦佩。 在小说中，黄蓉又显摆了九宫八卦图的奥秘，说“那九宫每宫又可化为一个八卦，八九七十二数，以从一至七十二之数，环绕九宫成圈，每圈八字，交界之处又有四圈，一共一十三圈，每圈数字相加，均为二百九十二”。 金庸心目中的“九宫八卦图”就是杨辉创造的“连环图”，由9个小圈三三组合，一共能构成13个小圈，每个小圈上的数字相加总值衡为292。 为了反击瑛姑，黄蓉也布下了三道难题，分别是：包括日、月、水、火、木、金、土、罗睺、计都的“七曜九执天竺笔算”“立方招兵支银给米题”“鬼谷算题”。有热心的网友表示，前面两道题分别讲的是不定积分和等差数列，而最后一题据我考证出自东晋末期的《孙子算经》，答案是23。 这么看来，瑛姑的算术水平确实不如黄蓉，比之黄药师更是天差地远，她要破解桃花岛的迷宫救出老顽童，确实难度不小。 中国古代数学是世界科技、文化宝库中一颗璀璨的明珠，在四大文明古国的数学史上，中国数学持续繁荣的时间最长，所取得的成绩也最为光彩夺目。中国古代数学先后历经了两汉、魏晋南北朝和宋元三个发展高峰，并在明清之交与西方数学展开了积极的交流与合作。 作为基础学科，中国数学在古代还是颇受重视的：《伏羲女娲图》上，伏羲手持矩、女娲手持规，代表“天圆地方”；周代的贵族教育体系，称之为“六艺”，指的是礼、乐、射、御、书、数，其中的“数”就是算数（算术、数学）；《周髀算经》和《九章算术》开创了中国数学的先河；隋唐两宋，都有专门的国家算术研究机构，还有专门针对算术的科举考试项目……然而，明清以后，随着八股文的指定和垄断，中国数学走向了没落。反观西方，欧洲逐步迈进资本主义社会，近代数学受生产力的刺激快速发展，这一进一退之间，中国和西方在数学水平之间的差距越拉越大。 金庸小说中，“数学”元素并不多见，无非瑛姑的算筹、黄蓉的试题、黄真的算盘。黄真是明末清初人物，彼时算盘已经彻底取代了算筹被应用于人民日常生活中，但黄真的算术水平可能非常一般，他手上的那把算盘是兵器而不是计算器，说起来也是相当可惜的。
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Examples
1 The rod-arithmetic is an ancient Chinese computing system using bamboo rods.